O que é elipse?

Elipse: Definição, Propriedades e Equações

Uma elipse é uma curva plana definida como o conjunto de todos os pontos para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos, chamados focos, é constante. Pode ser visualizada como um círculo alongado.

Elementos da Elipse:

• Focos (F1 e F2): Dois pontos fixos no interior da elipse que definem sua forma. A distância entre os focos afeta o quão "achatada" a elipse é.
• Eixo Maior: O segmento de reta que passa pelos focos e cujas extremidades são os vértices da elipse. O comprimento do eixo maior é 2a, onde a é o semieixo maior.
• Eixo Menor: O segmento de reta perpendicular ao eixo maior que passa pelo centro da elipse e cujas extremidades são os co-vértices. O comprimento do eixo menor é 2b, onde b é o semieixo menor.
• Centro: O ponto médio entre os dois focos.
• Vértices: Os pontos da elipse que estão nas extremidades do eixo maior.
• Co-Vértices: Os pontos da elipse que estão nas extremidades do eixo menor.
• Semieixo Maior (a): Metade do comprimento do eixo maior.
• Semieixo Menor (b): Metade do comprimento do eixo menor.
• Distância Focal (c): A distância entre o centro da elipse e um de seus focos.

Relação Fundamental:

A relação entre o semieixo maior (a), o semieixo menor (b) e a distância focal (c) é dada por: a² = b² + c²

Excentricidade (e):

A excentricidade (e) de uma elipse é uma medida de quão "achatada" ela é. É definida como a razão entre a distância focal (c) e o semieixo maior (a): e = c/a. O valor da excentricidade está sempre entre 0 e 1 (0 < e < 1). Se e se aproxima de 0, a elipse se aproxima de um círculo. Se e se aproxima de 1, a elipse se torna mais alongada.

Equações da Elipse:

• Elipse Centrada na Origem (0,0):

  • Eixo maior horizontal: x²/a² + y²/b² = 1
  • Eixo maior vertical: x²/b² + y²/a² = 1 (onde a > b)

• Elipse Centrada em (h,k):

  • Eixo maior horizontal: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1
  • Eixo maior vertical: (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1 (onde a > b)

Aplicações:

Elipses têm várias aplicações na ciência e na engenharia, incluindo:

• Órbitas planetárias: As órbitas dos planetas ao redor do Sol são elípticas, com o Sol em um dos focos. Este conceito está relacionado à Lei de Kepler.
• Refletores: A forma elíptica é usada em refletores para concentrar ondas sonoras ou luminosas em um foco.
• Arquitetura: Arcos elípticos são usados em arquitetura para criar estruturas fortes e esteticamente agradáveis.